Concepción Epistemológica de la Matemática

LA REVOLUCIÓN DE LA CIENCIA DE EUGENIO DÜHRING. ("ANTI-DÜHRING"). 1878.

Autor: Ingeniero - Especialista Francisco Jairo Bermúdez Pedroza

En la segunda mitad del siglo XIX, Federico Engels, pensador alemán, sostuvo una polémica Académica con Eugenio DÜHRING. El centro de la controversia giraba en torno a las concepciones diametralmente opuesta de uno y otro en relación con diversos temas relacionados con la Naturaleza, la Sociedad y el pensamiento Humano. Uno de los temas en conflicto lo era la Gnoseología o teoría del Conocimiento.

La controversia quedó plasmada en el libro  LA REVOLUCIÓN DE LA CIENCIA DE EUGENIO DÜHRING ("ANTI-DÜHRING"). El capítulo III que aborda el tema del APRIORISMO, es una exposición clara y precisa de la Concepción Epistemológica del Materialismo Dialéctico aplicado a la Ciencia de la Matemática.

Para los profesores es muy importante definir con precisión en que orilla nos encontramos en este terreno de la Epistemología, ya que de esto depende nuestra práctica PEDAGÓGICA.

Por esta razón he tomado la decisión de citar textualmente varios párrafos de esa exposición. Aspiro y espero que estas reflexiones de Federico Engels ofrezcan luces importantes en relación con el mundo de la Matemática. Su Comprensión nos permite abordar el camino de la ENSEÑANZA y el APRENDIZAJE Matemático de una manera mucho mas clara, coherente, SIGNIFICATIVA.

"Los conceptos de número y figura no han sido tomados sino del mundo real. Los diez dedos con los cuales los hombres han aprendido a contar, a realizar la primera operación aritmética, no son ni mucho menos una libre creación del entendimiento. Para contar hacen falta no sólo objetos contables, enumerables, sino también la capacidad de prescindir, al considerar esos objetos, de todas sus demás cualidades que no sean el número, y esta capacidad es resultado de una larga evolución histórica y de experiencia. También el concepto de figura, igual que el de número, está tomado exclusivamente del mundo externo, y no ha nacido en la cabeza, del pensamiento puro. Tenía que haber cosas que tuvieran figura y cuyas figuras fueran comparadas, antes de que se pudiera llegar al concepto de figura. La matemática pura tiene como objeto las formas especiales y las relaciones cuantitativas del mundo real, es decir, una materia muy real. El hecho de que esa materia aparece en la matemática de un modo sumamente abstracto no puede ocultar sino superficialmente su origen en el mundo externo. Para poder estudiar esas formas y relaciones en toda su pureza hay, empero, que separarlas totalmente de su contenido, poner éste aparte como indiferente; así se consiguen los puntos sin dimensiones, las líneas sin grosor ni anchura, las a y b y las x e y, las constantes y las variables, y se llega al final, efectivamente, a las propias y libres creaciones e imaginaciones del entendimiento, a saber, a las magnitudes imaginarias. Tampoco la aparente derivación de las magnitudes matemáticas unas de otras prueba su origen apriórico, sino sólo su conexión racional. Antes de que se llegara a la idea de derivar la forma de un cilindro de la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados ha habido que estudiar gran número de rectángulos y cilindros reales, aunque de forma muy imperfecta. Como todas las demás ciencias, la matemática ha nacido de las necesidades de los hombres: de la medición de tierras y capacidades de los recipientes, de la medición del tiempo y de la mecánica. Pero, como en todos los ámbitos del pensamiento, al llegar a cierto nivel de evolución se separan del mundo real las leyes abstraídas del mismo, se le contraponen como algo independiente, como leyes que le llegaran de afuera y según las cuales tiene que disponerse el mundo. Así ha ocurrido en la sociedad y en el  Estado, y así precisamente se aplica luego al mundo la matemática pura, aunque ha sido tomada sencillamente de ese mundo y no representa más que una parte de las formas de conexión del mismo, única razón por la cual es aplicable. Pero el señor Dühring, lo mismo que se imagina deducir de los axiomas matemáticos, los cuales no pueden tener ni necesitan fundamentación, ni siquiera según la representación lógica pura, toda la matemática pura sin ningún añadido empírico y luego poder aplicarla al mundo, así también se imagina que puede engendrar por de pronto en su cabeza las configuraciones básicas del ser, los elementos simples de todo saber, los axiomas de la filosofía, deducir luego de ellos la filosofía entera, o esquematismo universal, y conceder finalmente por supremo decreto esa constitución a la naturaleza y al mundo humano. Pero, desgraciadamente, la naturaleza no es en absoluto, y el mundo humano lo es en escasísima medida, como los prusianos de Manteuffel de 1850.[9]

Los axiomas matemáticos son expresión de los rudimentarios contenidos de pensamiento que la matemática tiene que pedir a la lógica. Esos contenidos pueden reducirse a dos:

1. El todo es mayor que la parte. Esta proposición es una mera tautología, pues la represcntación "parte", concebida cuantitativamente, se refiere ya desde su origen de un modo determinado a la representación "todo", a saber, de tal modo que "parte" significa sin más que el "todo" cuantitativo consta de varias "partes" cuantitativas'. Los llamados axiomas no hacen más que formular eso explícitamente, con lo que no avanzamos ningún paso. Y hasta es posible probar en cierto sentido esa tautología diciendo: un todo es aquello que consta de varias partes; una parte es aquella entidad que, con otras, constituye un todo; consecuentemente, la parte es menor que el todo; la vaciedad de la repetición subraya aun entonces la vaciedad del contenido.

2. Si dos magnitudes son iguales a una tercera, son iguales entre sí. Este enunciado, como mostró ya Hegel, es una inferencia garantizada por la lógica, es decir, un enunciado demostrado, aunque fuera de la matemática pura. Los demás axiomas sobre la igualdad y la desigualdad son meras ampliaciones lógicas de esa inferencia.

Estos enunciados tan pobres de contenido no tienen por sí mismos ningún atractivo ni en la matemática ni en ningún otro campo. Para poder avanzar tenemos que añadirles contenidos reales, relaciones y formas espaciales tomadas de cuerpos reales. Las representaciones de líneas, superficies, ángulos, polígonos, cubos, esferas, etc., proceden todas de la realidad, y hace falta una buena porción de ingenua ideología para creer la exposición de los matemáticos, según la cual la primera línea ha surgido por el movimiento de un punto en el espacio, la primera superficie por el movimiento de una línea, el primer cuerpo por el movimiento de una superficie, etc. Ya el lenguaje mismo se subleva contra ese uso. Una figura matemática de tres dimensiones se llama cuerpo, corpus solidum, en latín, es dccir, cuerpo tangible: su nombre mismo no procede de la libre imaginación del entendimiento, sino de la sólida realidad.

Pero ¿por qué perder tanto tiempo en esto? Luego de haber cantado con entusiasmo en las páginas 42 y 43 de su obra la independencia de la matemática pura respecto del mundo experiencial, su aprioridad, su dedicación a las libres creaciones e imaginaciones del entendimiento, el señor Dühring dice en la página 63:

"A menudo se pasa por alto, en efecto, que esos elementos matemáticos ["número, magnitud, tiempo, espacio y movimiento geométrico"] no son ideales más que por su forma... mientras que las magnitudes absolutas son algo plenamente empírico, cualquiera que sea el género a que pertenecen"..., pero "los esquemas matemáticos son susceptibles de una caracterización aislada de la experiencia y, sin embargo, suficiente". Lo cual, ciertamente, es en mayor o menor medida verdad de toda abstracción, pero no prueba en absoluto que la abstracción no proceda de la realidad. En el esquematismo universal la matemática pura nace del pensamiento puro; en la filosofía de la naturaleza es en cambio algo plenamente empírico, tomado del mundo externo y luego aislado de él. ¿En qué vamos a quedar?".

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EPISTEMOLOGÍA para Principiantes

ANTI-DÜHRING de FEDERICO ENGELS